« 14 »  04  20 15 г.




Векторы основные понятия

Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов Глава 1. Основные понятия векторной алгебры При определении понятий и доказательстве утверждений векторной алгебры мы будем опираться на школьную геометрию планиметрию и стереометрию. Отрезок называется направленным, если определено указано какой конец считается первым, а какой вторым. Вектор — это направленный отрезок. Второй конец вектора будем обозначать стрелкой см. Его будем называть концом вектора. Другой конец вектора где нет стрелки будем называть началом вектора. Концы вектора будем обозначать большими латинскими буквами, например, начало вектора буквойа конец буквой. В этом случае сам вектор будем обозначать символом. Кроме того, векторы будем обозначать маленькими латинскими буквами, например. Два вектора называются коллинеарными если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора могут быть направлены в одну и туже сторону или в противоположные стороны. Если коллинеарные векторы направлены в одну и ту же сторону, то будем говорить, что они сонаправлены, если они направлены в противоположные стороны, то будем говорить, что они противонаправлены. Дадим определение длины вектора. Длиной вектора называется длина соответствующего ему отрезка. Если вектор обозначен символомто его длина обозначается символомесли вектор обозначается символомто его длина обозначается символом. Таким образом, - это геометрический объект отрезокв то время как есть число длина вектора. Теперь дадим определение равенства двух векторов. Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены имеют одинаковую длину. В этом случае пишут. Используя элементарную геометрию, легко доказать следующую теорему. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному. Пусть даны вектор и точка. Если точка и вектор не лежат на одной прямой, то через точку Рис. Далее, от точки отложим отрезок, длина которого равна длине вектора. Стрелку поставим у того конца полученного отрезка, чтобы получившийся вектор был сонаправлен с вектором. Тогда, согласно определению, построенный вектор будет равен вектору. Если точка и вектор лежат на одной прямой, то вектор, равный вектору строим на этой прямой аналогично. Теперь дадим определение угла между векторами. Пусть векторы и отложены от общей точки. Тогда векторы и образую геометрический угол. Мера этого угла называется углом между векторами и см. Пусть теперь векторы имеют разные начала. Возьмем в пространстве какую-нибудь точку и от этой точки отложим векторы. Угол между векторами иотложенными от общей точки и называется углом между векторами и если их начала не совпадают. Введем операции сложения и вычитания векторов. Пусть даны два вектора и Рис. От конца вектора отложим вектор это можно сделать согласно теореме 1. Затем соединим отрезком начало вектора и конец вектора. У полученного отрезка поставим стрелку у конца вектора. Полученный вектор называется суммой векторов и обозначается. Такое сложение векторов называется сложением векторов по правилу треугольника. Введем понятие нулевого вектора. Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом, т. Нулевой вектор обозначается символом. Часто используется другой способ сложения векторов — сложение векторов по правилу параллелограмма. Сформулируем это правило в виде теоремы. Пусть даны два вектора. Выберем в пространстве какую-нибудь точку и от этой точки отложим векторы и это можно сделать согласно теореме 1. Соединим отрезком точки и диагональ параллелограмма и поставим стрелку у точки. Тогда вектор будет равен сумме. Имеем согласно свойствам параллелограмма. Но тогда по определению суммы векторов сложение по правилу треугольника. Сформулируем свойства операции сложения. Имеют место следующие свойства операции сложения: 1 коммутативность 2 ассоциативность 3 Доказательство. Введем понятие вектора, противоположного вектору. Вектором, противоположным вектору называется вектор, коллинеарный векторуимеющий длину, равную длине вектора и противонаправленный вектору. Вектор, противоположный векторубудем обозначать символом. Имеет место следующее свойство. Для любого вектора справедливо равенство. Если от конца вектора отложить векторто конец вектора совпадет с началом вектора. Но это и означает. Если вектор обозначается парой букв, например, первая буква соответствует началу, вторая буква соответствует концуто правило сложения векторов по правилу треугольника можно записать. В этой записи конец вектора совпадает с началом вектора. В результате получается вектор с началом в точке и концом в точке. Если дан векторто вектор есть вектор, противоположный вектору. В самом деле, вектора и коллинеарны, имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Определим операцию разности двух векторов. Разностью двух векторов и называется такой векторчто справедливо равенство. Разность векторов и обозначается. Таким образом, если. Если даны векторы ито вектор можно построить. Отложим от одной и той же точки Рис. Соединим отрезком концы этих векторов и у полученного отрезка поставим стрелку у конца вектора. Полученный таким построением вектор и будет вектор. В самом деле, как видно из рисунка. Вектор можно также построить складывая векторы ит. Выбери свой ВУЗ 47 64 69 195 24 114 660 1154 171 27 81 526 57 231 3027 40 442 568 159 117 52 22 37 213 31 25 166 129 98 123 323 170 1251 22 1804 905 72 296 70 33 36 208 122 287 49 200 178 109 130 33 32 78 24 44 234 225 113 115 89 2406 273 489 27 540 76 64 87 103 27 57 607 302 39 224 35 164 22 35 60 122 83 82 52 73 91 55 101 29 529 56 25 57 626 41 158 40 91 630 75 1099 1385 211 489 30 157 365 424 634 146 3929 1851 221 30 49 68 22 198 290 225 113 2078 46 296 115 57 45 26 72 116 608 115 32 132 99 67 156 50 218 34 91 400 129 256 309 127 25 46 142 147 1059 154 32 388 401 24 259 90 164 112 145 68 302 84 51 45 32 197 65 204 50 51 28 48 75 473 51 22 78 71 313 991 822 849 938 37 66 33 2018 94 26 24 565 721 36 145 58 523 99 165 269 234 93 446 123 35 597 29 514 132 68 180 312 35 443 157 29 67 220 225 39 29 84.




Александр Пуйка